非回転vector場はscalar potentialで表
$ \bm\nabla\times\bm T=\bm0\iff\bm T=\bm\nabla\bm\phi\quad\text{.for }\exist\bm\phi
証明
1. $ \impliedby
2. $ \implies
$ \bm\nabla\times\bm T=\bm0
$ \implies\int_{\partial S}\bm T\cdot\mathrm d\bm r=\bm 0\quad\text{.for }\forall S
$ \iff\oint\bm T\cdot\mathrm d\bm r=\bm 0
$ \iff \exist\bm\phi;\bm T=\bm\nabla\bm\phi
vectorのときは正規直交基底で成分分解して求めることもできる
3次元の場合もそのうち書く
極座標でも求められないかな？
tensorの場合でもやりたい
$ \bm v=\bm\nabla\phiのとき、任意の調和函数$ \varphiを用いて $ \bm v=\bm\nabla(\phi+\varphi)+\bm\nabla\times\bm A\quad\text{.for }\forall\varphi
と表せる。これは$ \bm\nabla\varphi=\bm\nabla\times\bm A\quad\text{.for }\forall\varphiを表す
$ \varphiは任意の調和函数なので、$ \varphi=0を代入して
$ \bm 0=\bm\nabla\times\bm A
となる。
$ \therefore\bm v=\bm\nabla(\phi+\varphi)\quad\text{.for }\forall\varphi
さらに$ \bm v=\bm\nabla\phiを代入すると$ \bm\nabla\varphi=\bm0となる
よって、任意の定数$ cを用いて$ \bm v=\bm\nabla(\phi+c)となる